Γιατί όταν το ΜΕΣΟ προϊόν (ΑΡ) μεγιστοποιείται ισούται με το ΟΡΙΑΚΟ προϊόν (ΜΡ)

Σε αρκετές ασκήσεις της Οικονομικής θεωρίας αναφέρεται ότι για παράδειγμα στον 5 εργάτη το μέσο προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή του.

Οι υποψήφιοι φοιτητές γνωρίζουν ότι η καμπύλη του οριακού προϊόντος κατερχόμενη τέμνει την καμπύλη του μέσου προϊόντος στη μέγιστη τιμή του.

Επομένως το max της καμπύλης του μέσου προϊόντος είναι συγχρόνως και σημείο τομής των δύο καμπυλών (ΑΡ και ΜΡ).

Σωστά λοιπόν οι υποψήφιοι θέτουν AP5 = MP5, αναλύουν τους τύπους ΑΡ και ΜΡ και αντικαθιστώντας ανάλογα συνεχίζουν την άσκηση.

Προχωρώντας σε επόμενα (των Πανελλαδικών) επίπεδα ανάλυσης και μέσω παραδείγματος θα δείξουμε γιατί στο σημείο όπου το μέσο προϊόν παίρνει τη μέγιστη τιμή του ισχύει  η ισότητα ΑΡ = ΜΡ.

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση παραγωγής Q = 600L^2 – 10L^3

1.Το οριακό προϊόν της εργασίας (πρώτη παράγωγος της συνάρτησης παραγωγής)

ΜΡL = ΔQ/ΔL = 1200L – 30L^2     (1)

2. Το μέσο προϊόν της εργασίας AP = Q/L = (600L^2 – 10L^3) / L = 600L – 10L^2     (2)

Η συνάρτηση (2) θα έχει μέγιστο όταν η πρώτη παράγωγός της θα ισούται με το μηδέν και η δεύτερη παράγωγος θα είναι αρνητική.

Επομένως ΔAP/ΔL = 600 – 20L = 0 ⇒ L = 30

(η δεύτερη παράγωγος ισούται με – 20, άρα είναι αρνητική)

Δηλαδή για L = 30 το μέσο προϊόν (ΑΡ) παίρνει την μέγιστη τιμή του.

3. Η σχέση (1) – οριακό προϊόν για L = 30 ⇒ ΜΡ = 9.000

Η σχέση (2)  –  μέσο προϊόν   για L = 30 ⇒ ΑΡ = 9.000

 

Επομένως στο σημείο όπου το μέσο προϊόν παίρνει τη μέγιστη τιμή του ισχύει  η ισότητα ΑΡ = ΜΡ.

 

0 replies

Leave a Reply

Want to join the discussion?
Feel free to contribute!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *